Réaction d'appuis, moment fléchissant, effort tranchant et exercice résolu

[rocdacier]

9.4 REACTIONS D’APPUIS – MOMENT FLECHISSANT – EFFORT TRANCHANT

9.4.1 Réactions d’appuis

Nous n’étudierons, dans les lignes qui suivent, que les poutres qui se résolvent par les deux équations de la statique à savoir :

1. Σalg projY F = 0
2. Σalg MA F = 0

Ces poutres sont appelées isostatiques
Notons qu’au chapitre 11, nous aurons l’occasion d’étudier les poutres hyperstatiques.

Considérons ( Fig. 9-7a ) une poutre sur deux appuis simples soumise à l’action d’une force gravitaire P. Cette force va exercer sur les appuis A et B des poussées ( actions ) qui provoqueront de leurs parts une réaction de même intensité que la poussée, mais dirigée en sens inverse. ( Rappel : voir cours de mécanique générale ).

Par la pensée, supprimons les appuis A et B, pour les remplacer par les réactions RA et RB, dont nous ne connaissons ni le sens , ni l’intensité.

Nous suivrons notre convention de signe, à savoir que les forces dirigées de bas en haut sont positives et que les moments dirigés dans le sens trigonométrique sont positifs. Partant de là, nous pouvons écrire les deux équations de la statique.

Remarque : Lorsque la solution donne un signe négatif pour RA ou pour RB, c’est que le sens initialement choisi pour RA ou RB n’était pas correct. Il y a donc lieu de changer ce sens de la réaction et en tenir compte dans la suite du calcul.

9.4.2 Moment fléchissant ( Mf )

Le moment fléchissant au droit d’une section S de la poutre ( Fig. 9-8a ) soumise à la flexion simple, est la somme algébrique des moments par rapport à la fibre neutre de la section, de toutes les forces situées d’un même côté de la section ( à gauche ou à droite ). Dans ces forces, il faut inclure les réactions d’appuis.

- Soit une poutre AB ( Fig. 9-8 ) soumise à une force P où RA et RB sont les réactions d’appuis.
- Soit une section droite S :

( S ) sera en équilibre si : Σalg projY F = 0 et Σalg MA F = 0 , ou si, l’action de la poutre gauche équilibre l’action de la poutre droite.

- Considérons en premier lieu les forces à gauche de S ( Fig. 9-8b ).
Nous ne trouvons que la réaction RA. L’action de RA dans la section S est une force parallèle de même sens et égale à RA et un moment M1.
- Les forces à droites de S, sont P et RB, leur action dans S est une force parallèle à P et à RB égale à RB – P et un moment résultant M de M1 et M2

( 1 ) RA – P + RB = 0
( 2 ) – M1 – M2 + M3 = 0

L’équation ( 1 ) est satisfaite, car elle a servi de base au calcul de RA et RB.
L’équation ( 2 ) donne lieu à la définition du moment fléchissant, qui est soit M1, soit la résultante de M2 et M3, dans la section S . Il faudra placer le signe ( - ) devant le moment, afin de retrouver le signe du moment avec les forces de gauche.

Convention de signes : On convient de donner un signe au moment fléchissant. Dans le cas du moment fléchissant positif, la pièce présente sa concavité vers le haut ( Fig. 9-9b ), ses fibres supérieures sont comprimées et celles inférieures sont tendues. A l’inverse, si la concavité se présente vers le bas, le moment fléchissant est négatif ( Fig. 9-9a ). Les fibres supérieures sont alors tendues, tandis que les fibres inférieures sont comprimées.

9.4.3 Effort tranchant (T )

L’effort tranchant dans une section droite ( S ) d’une poutre soumise à la flexion plane simple est la somme algébrique de tous les efforts situés d’un même côté de la section ( à gauche ou à droite ). Dans ces efforts, il faut inclure les réactions d’appuis.

TS = + RA ou { - ( -P + RB ) } = P – RB

Ceci résulte de l’équation ( 1 ) ci-dessus qui peut s’écrire : RA + ( -P + RB ) = 0

Remarques :
- Dans une section où agit la charge locale, il y a un effort tranchant à gauche et un effort tranchant à droite. La différence entre les deux est égale à la valeur de la force.
- Par convention, T sera positif, s’il tend à faire monter la poutre.

9.4.4 Exercices résolus

1. La Fig. 9-10 représente une poutre console encastrée en A et soumise à l’action de 3 forces.
Déterminer les efforts tranchants et les moments fléchissants sous ces charges.

Solution
- Efforts tranchants
Entre B et C : T1 = -150 daN
Entre C et D : T2 = -150 -200 = -350 daN
Entre D et A : T3 = -350 -100 = -450 daN

- Moments fléchissants
Nœud B : MFB = 0
Nœud C : MfC = - 1 x 150 = -150 mdaN
Nœud D : MfD = -( 3 x 150 ) – ( 2 x 200 ) = -850 mdaN
Nœud A : -(4 x 150 ) – ( 3 x 200 ) – ( 1 x 100 ) = -1300 mdaN

2. Soit la poutre AB posée sur deux appuis et soumise à l’action de 2 forces, l’une en C et l’autre en D ( Fig. 9-11 ). Déterminer la valeur des efforts tranchants et des moments fléchissants au droit des forces.

Solution
- Réactions d’appuis
+ RA - 200 – 600 + RB = 0 RA + RB = 800 daN

Σ alg MAF = 0 :
+( RB x 10 ) – ( 600 x 5 ) – ( 200 x 2 ) = 0

RA = 800 – 340 = 460 daN

- Efforts tranchants
Entre B et D : T1 = 340 daN
‘’ D et C : T2 = + 340 – 600 = -260 daN
‘’ E et A : T3 = - 260 – 200 = - 460 daN

- Moments fléchissants
En B : MfB = 0
En D : MfD = + 340 x 5 = +1700 mdaN
En C : MfC = + ( 340 x 8 ) – ( 600 x 3 ) = +920 mdaN
En A : MfA = 0

Remarque : Nous avons étudié l’équilibre du tronçon Ax, sous l’action des forces qui s’exercent sur le tronçon extrémité xB (forces à droite ). Mais nous pouvons aussi étudier l’équilibre du tronçon Ax sous l’action des forces à gauche à condition d’en changer les signes.