Critère de limite élastique, Rankine, Tresca, Von mises, Mohr et exercice

rocdacier · 31/8/21

8.6 CRITERE DE LIMITE ELASTIQUE

8.6.1 Conditions théoriques de résistance

Afin de réaliser des composants, on doit lors de la conception d'une pièce, s'imposer une limite supérieure aux contraintes sollicitant les matériaux.

- Si le matériau est ductile et malléable, la référence sera la limite élastique Re
- Si le matériau est fragile, la référence sera alors la résistance à la rupture Rr
- Si les contraintes sont bi axiales voir même tri axiales, d'autres critères sont alors nécessaires tels que les critères de Rankine, de Tresca et de Von Mises pour les plus connus.

8.6.2 Critère de Rankine (Fig. 8-14 )

1. Enoncé : La contrainte normale maximale

en tout point d'un matériau doit être inférieure ou égale à la contrainte limite d'élasticité à la traction Re ( ou à la compression, si c'est le cas et que celle-ci est différente ) :

.

2. Remarque :

- Dans l'état plan de contraintes avec

la représentation de ce critère est indiquée à la Fig. 8-14.
- Pour un état de cisaillement pur

( Critère de Guest )

8.6.3 Critère de Tresca ( Fig. 8-15 )

1. Enoncé : La contrainte équivalente Ä·eq en tout point d'un matériau doit être inférieure ou égale à la contrainte limite d'élasticité à la traction Re ( ou à la compression si c'est le cas et que celle-ci est différente ).

En fonction des contraintes normales principales, ce critère peut s'écrire comme suit :

( Le graphique est un hexagone Fig. 8-15 et 16 ).

2. Remarques
- Ce critère donne de bons résultats dans le cas de sollicitations composées, si le matériau satisfait au mieux à Rge = 0,5 . Re ( ex. acier doux S235 ).
- pour les poutres soumises à des sollicitations normale et tangentielle :

8.6.4 Critère de Von Mises ( ou de l'énergie de déformation ) Fig. 8-16

Un matériau, lorsqu'il est déformé par une charge extérieure, tend à stocker de l'énergie interne dans son volume ( analogie avec les ressorts ).

Enoncé : On définit une contrainte équivalente

en tout point d'un matériau devant être inférieur à la limite élastique en traction ( ou à la compression le cas échéant ).

Le domaine élastique est défini par la relation :

Etat plan de contrainte (

= 0 ) : La contrainte équivalente de Von Mises se réduit à la relation

( ce qui représente l'équation de l'ellipse et le domaine élastique est représenté par la Fig. 8-16 ).

Note :
Si on compare les deux critères précédents ( Fig. 8-16 ), on constate que c'est le critère de Tresca qui est le plus sévère .

- Pour les poutres soumises à des sollicitations normale et tangentielle :

Le critère de Von Mises est le plus souvent utilisé dans les calculs théoriques et dans les logiciels de calculs par éléments finis, en raison de la simplicité de son expression.

8.6.5 Critère de Mohr

Pour beaucoup de matériaux, les résistances à la rupture en traction Rrt et en compression Rrc diffèrent. Le critère de Mohr basé sur des essais expérimentaux, prend en compte cette différence (Fig.8-17 ).

Le cercle A traduit une sollicitation de compression simple.
Le cercle B traduit une sollicitation de traction simple.
Le cercle C traduit une sollicitation de cisaillement simple.

8.6.6 Critères pour matériaux fragiles (critère de Coulomb )

Schématiquement, lorsqu'un matériau fragile est soumis à un essai de traction, sa rupture se produit sans déformation plastique préalable.

Les contraintes maximales atteignent la limite de rupture Rr. Le critère de Coulomb ( ou de la contrainte normale maximale ) s'écrit :

Ce critère se traduit graphiquement à la Fig. 8-19.

Remarque générale : Pour ces différents critères, le concepteurs doivent prendre en considération la sécurité en adoptant un coefficient ( se ) variant pour la construction mécanique de 1,2 à 5 soit

( sr variant de Â± 2 à 15 ).