Relations fondamentales, contraintes normales, maximales, résistance à la flexion

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9.5 RELATIONS FONDAMENTALES


Prenons une poutre, par exemple de section rectangulaire et constante, reposant sur deux appuis et chargée symétriquement (Fig. 9-12 ).

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Du fait de la symétrie, les réactions RA et RB aux appuis sont égales et nous pouvons écrire :
RA = RB = P1 = P2. Les forces P1 et RA définissent un couple faisant équilibre aux forces P2 et RB. Procédons entre A et B à une coupure de la poutre à une distance ( x ) de l’appui A, donnant lieu à une section droite S. En cette section, le moment fléchissant Mf est égal au moment du couple de flexion MfX = -P1 . L1 et il en est de même pour toute autre section comprise entre A et B.

Note : On négligera dans cette étude, le poids de la poutre. MfX est négatif le long de la poutre ( Δφ < 0 ).

9.5.1 Expression de la contrainte normale en un point d’une section droite



Appelons S1, une autre section droite distante de Δx par rapport à S et réalisons un agrandissement de cette zone ( Fig. 9-13 ). Nous savons que les fibres situées sur l’axe neutre xx’ ne subissent aucune variation de longueur GG1 = Δx. En outre, les sections S et S1 restent planes et perpendiculaires à xx’, leur plan respectif u et u1 tourne l’un par rapport à l’autre d’un angle Δφ. Ainsi, l’axe neutre de S se projette en G et celui de S1 en G1.

Par rapport à sa longueur initiale Δx, toute fibre ( ab ) de la zone tendue située à une distance ( ρ ) de xx’, s’est allongée d’une quantité bb’ = ρ . Δφ. Réciproquement, toute fibre ( cd ) de la zone comprimée située à la même distance ( ρ’ ) de xx’ s’est raccourcie d’une longueur dd’ = ρ’ . Δφ .
L’allongement unitaire vaut :
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exprimé en radians par unité de longueur.

A cet allongement correspond une contrainte normale de traction ( Loi de Hooke ) :
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De même, au raccourcissement unitaire ε’ de la fibre ( cd ) correspond une contrainte normale de compression :
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Sachant que
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, la contrainte de traction σt a le sens de Δx -> donc positive dans la zone de la traction au-dessus de la fibre neutre ( ρ < 0 ). La contrainte de compression σc a le sens contraire à Δx, donc négative dans la zone en dessous de la fibre neutre ( ρ < 0 ).

Nous pouvons généraliser la formule
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( traction ) pour ρ > 0 et σ < 0 ( compression ) pour ρ < 0..

En général σt – σc = σ ( valeur absolue ) et on peut assimiler l’arc GG’ à un cercle de rayon OG = r, soit
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. Lorsque Δx tend vers zéro, Δφ tend également vers zéro, mais le rapport tend vers une limite 1/r qui, par définition, est la courbure de l’arc considéré au point G, ( r ) étant le rayon de courbure en ce point.

Dans ces conditions, nous pouvons écrire :
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( 1 ). La contrainte normale ( traction ou compression ) en un point d’une section droite est directement proportionnelle :

  • Au rayon de courbure de l’axe xx’ de la poutre au point G.
  • A la distance ( ρ ou ρ’ ) de ce point à l’axe neutre de la section.
  • Au module d’élasticité longitudinal.
Remarque : Sur l’axe neutre, la contrainte normale est nulle ( ρ = 0 ) et elle sera maximum aux extrémités de la section.

9.5.2 Expression de la courbure en un point de l’axe de la poutre



Isolons le tronçon ( 1 ) au moyen d’une section droite MN réalisée entre A et B. Pour maintenir ce tronçon en équilibre, nous devons appliquer sur chaque élément de surface ΔS du tronçon ( 1 ), une force f perpendiculaire à son plan et orientée comme indiqué à la Fig. 9-15. Selon qu’il s’agit de fibres tendues ou comprimées, les forces f représentent les actions que le tronçon ( 2 ) exerçait sur le tronçon ( 1 ). Ces forces font équilibre au couple de flexion ( P1, RA ). Si nous adoptons le plan αβ comme axe des moments,

nous pouvons écrire : Mf = Σ ρ . f.

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Nous avons vu précédemment que la contrainte normale était exprimée par la relation
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la déformée de la poutre. Nous pouvons déduire de cette relation que la courbure en un point de l’axe d’une poutre est :
  • Directement proportionnelle au moment fléchissant Mf
  • Inversement proportionnelle au module d’élasticité longitudinale E
  • ‘’ ‘’ au moment d’inertie de la section par rapport à l’axe neutre αβ.

Remarque : La section de la poutre étant constante, Iαβ = cste entre A et B, en conséquence :

Mf et 1/r = cste. L’axe xx’ va donc se courber selon un arc de cercle entre A et B.

9.5.3 Expression générale de la contrainte normale en un point d’une section droite



Si nous remplaçons 1/r par sa valeur, dans la relation ( 1 ), nous pouvons écrire :
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( 3 )

9.5.4 Expression de la contrainte maximale


Dans les relations précédentes, Mf et Iαβ = cste. Il s’en suit que tout le long d’une fibre située à une distance ( ρ ) de la fibre neutre, la contrainte sera la même et ce quelle que soit la section droite choisie pourvu qu’elle soit prise entre les appuis. La contrainte sera maximale pour les fibres les plus éloignées de la fibre neutre ( ρmax ). Posons ρmax = v dans l’équation ( 3 ) et nous aurons :

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Par définition, le terme
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est appelé module de flexion = Welαβ

Unités pratiques : N/mm² = mmN/mm³ ou encore daN/mm² = mdaN/cm³

Cette dernière unité est souvent utilisée par les projeteurs, du fait que les caractéristiques mécaniques des profilés sont indiqués en cm³, cm4 et cm dans les catalogues des fabricants.

9.5.5 Condition de résistance à la flexion


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La contrainte dans la fibre la plus tendue ou la contrainte dans la fibre la plus comprimée, ne doit pas dépasser la résistance pratique ( contrainte admissible ) à la traction ou à la compression, si cette dernière est différente :

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9.5.6 Exercice résolu


Reprenons la poutre illustrée à la Fig. 9-12, sachant que sa section droite est un IPE 120 ( voir catalogue ) en acier S235 et qu’elle est posée à plat sur les appuis. A ses extrémités, la poutre supporte une charge P1 = P2 = -250 daN à une distance L1 = L2 = 1 m des appuis.

Solution
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P1 = P2 = -250 daN.

1. Calcul des réactions d’appuis
- P1 + RA + RB – P2 = 0 => P1 = P2 soit RA = RB = 250 daN

- Effort tranchant en S : TS = - P2 + RB = 0 ( Fig. 9-16b )

- Moment fléchissant en B ( forces à droite ) : MfB = - P2 . L1 = - 250 x 1 = - 250 mdaN
- Moment fléchissant en A ( forces à droite ) Fig. 9-16c : MfA = - P2( L + a ) + RA . L avec P2 = RA
MfA = - P2 . a = - 250 mdaN

Remarque : On peut déterminer MfA à partir des forces à gauche, à condition de changer le signe :
MfA = - ( P2 . L1 )= - 250 mdaN
- Moment fléchissant maximum : Mfmax = 250 mdaN
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σtmax = + 4,72 daN/mm² et σcmax = - 4,72 daN/mm² ( Fig. 9-17 )

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σmax < Rtadm =
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= 15,7 daN/mm² ok

3. Le diamètre de la barre doit satisfaire à la relation :
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Nous choisissons : d = 55 mm
Entre A et B, la barre se déforme suivant un arc de rayon = r donné par la relation :
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Mf est négatif => r > 0, le centre est bien situé sous l’axe x. E = 21000 daN/mm²

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