9.4 REACTIONS D'APPUIS - MOMENT FLECHISSANT - EFFORT TRANCHANT
9.4.1 Réactions d'appuis
Nous n'étudierons, dans les lignes qui suivent, que les poutres qui se résolvent par les deux équations de la statique à savoir :
1. Σalg projY F = 0
2. Σalg MA F = 0
Ces poutres sont appelées isostatiques
Notons qu'au chapitre 11, nous aurons l'occasion d'étudier les poutres hyperstatiques.
Considérons ( Fig. 9-7a ) une poutre sur deux appuis simples soumise à l'action d'une force gravitaire P. Cette force va exercer sur les appuis A et B des poussées ( actions ) qui provoqueront de leurs parts une réaction de même intensité que la poussée, mais dirigée en sens inverse. ( Rappel : voir cours de mécanique générale ).
Par la pensée, supprimons les appuis A et B, pour les remplacer par les réactions RA et RB, dont nous ne connaissons ni le sens , ni l'intensité.
Nous suivrons notre convention de signe, à savoir que les forces dirigées de bas en haut sont positives et que les moments dirigés dans le sens trigonométrique sont positifs. Partant de là , nous pouvons écrire les deux équations de la statique.
Remarque : Lorsque la solution donne un signe négatif pour RA ou pour RB, c'est que le sens initialement choisi pour RA ou RB n'était pas correct. Il y a donc lieu de changer ce sens de la réaction et en tenir compte dans la suite du calcul.
9.4.2 Moment fléchissant ( Mf )
Le moment fléchissant au droit d'une section S de la poutre ( Fig. 9-8a ) soumise à la flexion simple, est la somme algébrique des moments par rapport à la fibre neutre de la section, de toutes les forces situées d'un même côté de la section ( à gauche ou à droite ). Dans ces forces, il faut inclure les réactions d'appuis.
- Soit une poutre AB ( Fig. 9-8 ) soumise à une force P où RA et RB sont les réactions d'appuis.
- Soit une section droite S :
( S ) sera en équilibre si : Σalg projY F = 0 et Σalg MA F = 0 , ou si, l'action de la poutre gauche équilibre l'action de la poutre droite.
- Considérons en premier lieu les forces à gauche de S ( Fig. 9-8b ).
Nous ne trouvons que la réaction RA. L'action de RA dans la section S est une force parallèle de même sens et égale à RA et un moment M1.
- Les forces à droites de S, sont P et RB, leur action dans S est une force parallèle à P et à RB égale à RB - P et un moment résultant M de M1 et M2
( 1 ) RA - P + RB = 0
( 2 ) - M1 - M2 + M3 = 0
L'équation ( 1 ) est satisfaite, car elle a servi de base au calcul de RA et RB.
L'équation ( 2 ) donne lieu à la définition du moment fléchissant, qui est soit M1, soit la résultante de M2 et M3, dans la section S . Il faudra placer le signe ( - ) devant le moment, afin de retrouver le signe du moment avec les forces de gauche.
Convention de signes : On convient de donner un signe au moment fléchissant. Dans le cas du moment fléchissant positif, la pièce présente sa concavité vers le haut ( Fig. 9-9b ), ses fibres supérieures sont comprimées et celles inférieures sont tendues. A l'inverse, si la concavité se présente vers le bas, le moment fléchissant est négatif ( Fig. 9-9a ). Les fibres supérieures sont alors tendues, tandis que les fibres inférieures sont comprimées.
9.4.3 Effort tranchant (T )
L'effort tranchant dans une section droite ( S ) d'une poutre soumise à la flexion plane simple est la somme algébrique de tous les efforts situés d'un même côté de la section ( à gauche ou à droite ). Dans ces efforts, il faut inclure les réactions d'appuis.
TS = + RA ou { - ( -P + RB ) } = P - RB
Ceci résulte de l'équation ( 1 ) ci-dessus qui peut s'écrire : RA + ( -P + RB ) = 0
Remarques :
- Dans une section où agit la charge locale, il y a un effort tranchant à gauche et un effort tranchant à droite. La différence entre les deux est égale à la valeur de la force.
- Par convention, T sera positif, s'il tend à faire monter la poutre.
9.4.4 Exercices résolus
1. La Fig. 9-10 représente une poutre console encastrée en A et soumise à l'action de 3 forces.
Déterminer les efforts tranchants et les moments fléchissants sous ces charges.
Solution
- Efforts tranchants
Entre B et C : T1 = -150 daN
Entre C et D : T2 = -150 -200 = -350 daN
Entre D et A : T3 = -350 -100 = -450 daN
- Moments fléchissants
Noed B : MFB = 0
Noed C : MfC = - 1 x 150 = -150 mdaN
Noed D : MfD = -( 3 x 150 ) - ( 2 x 200 ) = -850 mdaN
Noed A : -(4 x 150 ) - ( 3 x 200 ) - ( 1 x 100 ) = -1300 mdaN
2. Soit la poutre AB posée sur deux appuis et soumise à l'action de 2 forces, l'une en C et l'autre en D ( Fig. 9-11 ). Déterminer la valeur des efforts tranchants et des moments fléchissants au droit des forces.
Solution
- Réactions d'appuis
+ RA - 200 - 600 + RB = 0 => RA + RB = 800 daN
Σ alg MAF = 0 :
+( RB x 10 ) - ( 600 x 5 ) - ( 200 x 2 ) = 0
RA = 800 - 340 = 460 daN
- Efforts tranchants
Entre B et D : T1 = 340 daN
" D et C : T2 = + 340 - 600 = -260 daN
" E et A : T3 = - 260 - 200 = - 460 daN
- Moments fléchissants
En B : MfB = 0
En D : MfD = + 340 x 5 = +1700 mdaN
En C : MfC = + ( 340 x 8 ) - ( 600 x 3 ) = +920 mdaN
En A : MfA = 0
Remarque : Nous avons étudié l'équilibre du tronçon Ax, sous l'action des forces qui s'exercent sur le tronçon extrémité xB (forces à droite ). Mais nous pouvons aussi étudier l'équilibre du tronçon Ax sous l'action des forces à gauche à condition d'en changer les signes.
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