4.9 CONTRAINTE DE CONTACT DANS LES BILLES ET ROULEAUX
4.9.1 Généralités
Lorsque deux corps élastiques ( 2 billes par exemple ) exercent une pression, l'une sur l'autre, il se forme une surface de contact très petite ( déformation locale ).
Les pressions réparties sur cette surface sont appelées "pressions de contact ". Les valeurs de ces pressions peuvent être calculées au moyen des formules de Hertz ( ingénieur allemand 1857 -1894 ). Nous donnons ci-après les résultats fondés sur deux hypothèses :
a) Les dimensions des surfaces en contact entre les deux corps considérés sont faibles, en particulier par rapport aux rayons de courbure aux points considérés.
b) Les contraintes sont telles que la limite élastique Re des matériaux ne peut être atteinte sauf dans certains cas que nous verrons par la suite et où l'on peut admettre de faibles déformations.
Le problème des pressions de contact revêt actuellement une grande importance en mécanique étant donné, par exemple, des charges énormes appliquées sur les essieux des motrices de chemin de fer et en RDM, pour les appuis mobiles des ponts.
4.9.2 Formules de Hertz ( corps métalliques - aciers )
1. Sphère sur sphère
Soient d1 de d2 les diamètres des sphères en contact. Le rayon ( a ) du cercle de contact est donné par la relation :
La pression maximale est située au centre du cercle de contact.
Sa valeur est donnée par la relation
Dans ces formules et celles qui suivront :
P = effort sur la surface de contact ( daN )
E1 et E2 = modules d'élasticité longitudinaux des corps en contact ( daN/mm² ou hbar )
pmax = pression maximum qui se produit au centre ou dans l'axe de la surface de contact élastique ( daN/mm² )
d1 et d2 = diamètres des corps en contact ( billes ou rouleaux )
Remarque : La valeur du rapprochement des centres des billes dû à la déformation, est déterminée par la relation :
Les formules (1), (2) et (3) se simplifient lorsque d1 = d2 et que E1 = E2 = E. Ainsi :
2. Sphère sur plan
Les formules se déduisent des relations précédentes, en faisant
d1 = d et d2 =
Rapprochement dû à la déformation
Remarque : On constate facilement que la contrainte de compression maximum au centre de la surface de contact, dépend rapport de la valeur du rapport P/d². C'est là une justification de la pratique courante ( charge par unité se section diamétrale de la b bille ).
Exemple : Pour l'acier cémenté ( Timoshenko - Résistance des Matériaux T II ) pmax = 372 daN/mm² et d'après la formule (4)
pmax = 0,49.d².
3. Sphère reposant sur un siège sphérique ( Fig. 4-22)
Il suffit de changer le signe dans les équations (1) et (2) et nous aurons :
4. Cas général : contact des surfaces courbes
Désignons par 1/r1 et 1/r1' , les courbures principales ( max et mini se trouvant dans des plans orthogonaux ) de l'un des corps au point de contact et par 1/r2 et 1/r2' les courbures principales de l'autre corps. Soit
La surface de contact est généralement une ellipse dont les demi-axes sont calculés au moyen des relations :
Relations dans lesquelles P représente l'effort en daN.
(remarque : pour les profil creux, les rayons correspondants sont négatifs ).
(
L'angle
A = 2 / m et
La pression maximum, au centre de la surface de contact est :
5. Deux cylindres pressés l'un sur l'autre ( Fig. 4-24)
La surface de contact est un rectangle dont la largeur = b est donnée par la relation :
La valeur de la pression maximum au centre du rectangle de contact est donnée par la relation :
Dans le cas particulier où les deux cylindres ont le même module d'élasticité E1 = E2 = E, les relations précédentes se simplifient et nous pouvons écrire :
6. Cylindre en contact avec une surface plane ( Fig. 4-25)
Les relations vues précédemment donnent dans ce cas :
Remarque : La pression maximum reste constante lorsque P varie proportionnellement à l.d, c'est la raison pour laquelle la pratique courante dimensionne les pièces en fonction de la surface diamétrale.
7. Cylindre pose dans un siège cylindrique
Soient d1 et d2 les diamètres des cylindres de longueur l
Note : Ce cas est assez rare, pour ce qui concerne les rotules de charpente par exemple, le siège épouse parfaitement le cylindre.
Remarque générale : Dans le cas d'une pièce cylindrique, la longueur de la génératrice de contact est prise égale à la longueur réelle diminuée de 2 x b, sauf si chacune des extrémités
est chanfreinée sur une longueur égale à b avec un angle égal +/-45°.
Dans le cas d'un cylindre ou d'une surface courbe s'appuyant sur un plat, la surface de contact doit être éloignée d'au moins 1,5 à 2 b des bords de la pièce, sauf si les bords sont chanfreinés sur une longueur équivalente avec un angle de +/-45°. Pour que les formules restent valables, il faut que le diamètre de contact ( 2a ) ou la largeur de contact ( b ) puisse satisfaire aux conditions 2a ou b
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