Moments quadratiques et statiques

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CHAPITRE 6 : MOMENTS STATIQUES ET QUADRATIQUES

6.1 INTRODUCTION
Que ce soit pour la traction, la compression ou le cisaillement, lorsque nous devons déterminer la contrainte dans un solide, nous avons toujours réalisé une coupure, c’est-à-dire créer une section droite afin de pouvoir lui appliquer les principes de la statique et ainsi calculer la contrainte normale ou tangentielle. Par exemple :
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Dans les chapitres torsion et flexion qui vont suivre, cette section droite interviendra à nouveau, mais cette fois indirectement et ce, via des grandeurs diverses appelées moments.

6.2 MOMENT STATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE SITUE DANS SON PLAN

6.2.1 Définitions


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La Fig. 6.1 représente une surface plane ( S ) munie d’un axe yy’ dans son plan. Considérons un élément
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très petit de cette surface centré en M à une distance ( x ) de l’axe yy’. Par convention, on affectera le signe négatif aux éléments situés à gauche de yy’ et inversement le signe positif aux éléments situés à droite de cet axe.

a) On appelle moment de l’élément
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de la surface S par rapport à yy’, le produit
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. x

b) On appelle moment statique Ms de la surface S par rapport à yy’, la somme algébrique
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des moments de tous les éléments de la surface.
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Le moment statique est donc du troisième degré.

6.2.2 Théorème


Le moment statique d’une surface plane ( S ) par rapport à un axe situé dans son plan, est égal au produit de l’aire ( S ) de la surface par la distance ( dx ) de son centre de gravité ( G ) à l’axe yy’ soit : Ms = S . dx.
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Reprenons notre surface placée horizontalement et attribuons à chaque élément de surface un poids P proportionnel à son aire
1619
( ex. 1 cm² = 0,1 daN ).

- La résultante de toutes ces forces P1, P2, … … Pn est une force verticale gravitaire P.
- Le moment de cette résultante P par rapport à yy’ est égal à la somme algébrique des moments des composantes par rapport au même axe, soit :
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Ou encore :
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(moment statique ) peut être nul, positif ou négatif.

Ms = 0 si x = 0 donc si le centre de gravité ( G ) est situé sur l’axe yy’ par exemple.

Remarque : Pour déterminer le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe situé dans son plan, il suffit de : - Calculer la surface
- Rechercher le centre de gravité G de cette surface
- Calculer la distance de G à l’axe ( = x )
Rappel : Voir le cours de Mécanique Générale du même auteur (pas encore publié)

6.2.3 Exercice résolu


Calculer la valeur du moment statique par rapport à OX de la section représentée à la Fig. 6-3, ainsi que la distance du centre de gravité G de la surface à l’axe OX.
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Solution:
- Découper la section en 3 éléments simples (rectangles )
- Dresser le tableau ci-dessous.

Remarque : Nous savons, d’après le cours de mécanique générale, qu’il suffit de rechercher la position dx par rapport à l’axe yy’ pour obtenir la position du centre de gravité G de la Fig.6-3.

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