4.7 ASSEMBLAGE PAR BOULONS ( système hyperstatique )
C'est un problème d'extension - compression que l'on rencontre très souvent dans la pratique, il intéresse les assemblages par boulons des organes de machines.
4.7.1 Problème
Le serrage de deux boulons servant à assembler deux pièces mécaniques, s'effectue généralement à l'aide d'une clé dynamométrique, permettant de contrôler le couple de serrage et par là la force de traction dans les boulons ainsi que la compression dans les pièces assemblées. Supposons deux bagues superposées repères I et II, comprimées après le serrage de l'écrou ( Fig. 4-14). Les bagues et le boulon sont réalisés dans des matériaux différents, de modules d'élasticité respectivement E1 et E2. On tourne l'écrou pour exercer un effort de serrage :
Action de l'écrou et tête de boulon sur les bagues : F1 = F1' ( compression )
Action des bagues sur l'écrou et la tête du boulon : F2 = F2' ( traction )
Mais F1 = F2 = F et F1' = F2' = F ( action = réaction ).
Puis qu'il n'y a pas d'équation permettant de calculer F, on devra avoir recours à une équation de déformation, le système est donc bien hyperstatique.
Après serrage, on constate que le boulon s'est allongé et que les bagues se sont raccourcies.
4.7.2 Etude des déformations du système
a) Allongement du boulon (
soit :
b) Raccourcissement des bagues (
Longueur initiale = L ; section de la bague = S1 ; module d'élasticité = E1 ; force de compression = F
soit :
Relation entre le pas ( p ) ,
Supposons que l'écrou soit serré à la main ( sans contrainte ), le boulon ne s'allonge pas. Si, par l'intermédiaire d'une clef dynamométrique, on tourne l'écrou d'un tour, la distance entre les faces va diminuer d'une quantité égale au pas. En réalité, c'est le boulon qui s'allonge de
c) Application numérique
Reprenons la Fig. 4-14 et adoptons les valeurs suivantes : Boulon M16 ( pas = 2 mm ) en acier ordinaire E2 = 21000 daN/mm². Les bagues en fonte ont un diamètre intérieur de 18 mm et 26 mm de diamètre extérieur, E1 = 9000 daN/mm² ; longueur L = 150 mm. Calculer F et les contraintes maximales dans le boulon et les bagues.
Contrainte dans la bague
Les contraintes sont considérables et dépassent de très loin la limite élastique des matériaux utilisés.
Pour qu'un résultat, à partir des formules établies, soit significatif, il faut que les contraintes restent sous le seuil de Re. Si, nous admettons dans ce problème, pour le boulon Re2 = 40 daN/mm² et pour les bagues en fonte Re1 = 30 daN/mm².
Pour assurer le serrage, il ne faudra tourner l'écrou que d'environ 1/3 de tour soit +/-0,7 mm de déplacement => soit un effort maximum de 7302 daN ( couple de serrage = ± 0,2 x 0,016 x 7302 = 23,36 mdaN )
d) Remarques
La formule vue précédemment, n'est valable que dans le domaine élastique. F ( réel ) sera inférieur à cette valeur de F ( théorique ) calculé avec la formule précédente. Le
problème montre que le serrage d'un écrou met en jeu des efforts considérables, ce qui justifie l'emploi d'une clé dynamométrique.
4.7.3 Etude de l'assemblage corps et chapeau de bielle
Une bielle représentée à la Fig. 4-15, est soumise à un moment donné à un effort Q. Chacun des boulons recevra ( outre la force de serrage = F étudiée précédemment ) un effort de traction = Q/2. Si cet effort est trop important, le contact entre le chapeau et le corps de bielle au plan de joint AB disparaîtra.
Note : Nous admettrons que la section de la bielle jouant le rôle de la section des bagues de l'exercice précédent sera :
di = diamètre extérieur des boulons,
de = " de la circonférence inscrite de l'écrou
ou encore le diamètre extérieur d'une rondelle normale.
Exerçons sur les boulons un effort Q/n ( n = nbre de boulons ) égal et opposé, le boulon sera tendu par un effort ( F2 ) et les rondelles comprimées par un effort F1. Toutefois les rondelles ( ou assimilées ) sont en équilibre sous l'action des forces Q/n, F1, F2.
Equation de projection sur l'axe de symétrie du système:
F2 - Q/n - F1 = 0 => F2 - F1 = Q/n ( voir Fig. 4-14)
Sous l'effet de la force de serrage F, le boulon s'est allongé de
Sous l'action de la force F2' , il s'est allongé de
L'augmentation d'allongement due à la force Q/n sera donc :
Dans notre cas, le chapeau et le corps de bielle se raccourcissent sous l'action de
Sous l'action de F1, le raccourcissement de ces pièces sera :
Le raccourcissement des pièces due à la force Q/n sera donc :
Or, l'allongement du boulon doit être égal au raccourcissement des pièces soit :
Des équations (1) et (2) on peut déterminer F1 et F2 ainsi nous nous pouvons écrire que :
Remarque : L'application de la charge Q/n sur un boulon de la bielle, ne donne pas un effort égal à Q/n, mais bien une fraction de cet effort. Pour que les pièces restent comprimées, il faut que F1 > 0 soit :
Exercice numérique:
Supposons que la bielle représentée à la Fig. 4-15 soit en acier et qu'elle doit transmettre un effort maximum Q = 3000 daN à un maneton. La liaison du corps au chapeau de bielle est assurée par deux boulons M14 en acier 8.8 ( E1 = E2 )
a) L'effort de serrage minimum des boulons
b) L'action du corps sur le chapeau et du chapeau sur la tête des boulons ( F2 )
c) La contrainte moyenne dans le noyau de boulons et la contrainte à fond de filet si on adopte un coefficient d'intensification de contrainte kt = 2,5.
d) Les mêmes contraintes mais en utilisant des boulons " allégés " dont le corps à un diamètre =
Solution:
As = section résistante des filets = 115 mm² (
Couple de serrage = 0,2 x 1600 x 0,127 = 40,64 mdaN
b) Valeur de la force F2 sur le boulon pendant la marche ( 2 bls )
c)
d) Si on utilise un boulon " allégé ":
Conclusion : Pour un même matériau et un même type de boulon, la sécurité est plus grande avec un boulon dit allégé. Ce type de boulon est d'ailleurs très utilisé en construction mécanique, en chaudronnerie et en tuyauteries industrielles.
Pièces jointes
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