Contrainte de contact dans les billes et les rouleaux

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4.9 CONTRAINTE DE CONTACT DANS LES BILLES ET ROULEAUX


4.9.1 Généralités


Lorsque deux corps élastiques ( 2 billes par exemple ) exercent une pression, l’une sur l’autre, il se forme une surface de contact très petite ( déformation locale ).

Les pressions réparties sur cette surface sont appelées ‘’pressions de contact ‘’. Les valeurs de ces pressions peuvent être calculées au moyen des formules de Hertz ( ingénieur allemand 1857 –1894 ). Nous donnons ci-après les résultats fondés sur deux hypothèses :

a) Les dimensions des surfaces en contact entre les deux corps considérés sont faibles, en particulier par rapport aux rayons de courbure aux points considérés.

b) Les contraintes sont telles que la limite élastique Re des matériaux ne peut être atteinte sauf dans certains cas que nous verrons par la suite et où l’on peut admettre de faibles déformations.

Le problème des pressions de contact revêt actuellement une grande importance en mécanique étant donné, par exemple, des charges énormes appliquées sur les essieux des motrices de chemin de fer et en RDM, pour les appuis mobiles des ponts.

4.9.2 Formules de Hertz ( corps métalliques – aciers )



1. Sphère sur sphère
1419


Soient d1 de d2 les diamètres des sphères en contact. Le rayon ( a ) du cercle de contact est donné par la relation :
1420


La pression maximale est située au centre du cercle de contact.
Sa valeur est donnée par la relation
1421


Dans ces formules et celles qui suivront :
P = effort sur la surface de contact ( daN )
E1 et E2 = modules d’élasticité longitudinaux des corps en contact ( daN/mm² ou hbar )
pmax = pression maximum qui se produit au centre ou dans l’axe de la surface de contact élastique ( daN/mm² )
d1 et d2 = diamètres des corps en contact ( billes ou rouleaux )

Remarque : La valeur du rapprochement des centres des billes dû à la déformation, est déterminée par la relation :

1422


Les formules (1), (2) et (3) se simplifient lorsque d1 = d2 et que E1 = E2 = E. Ainsi :
1423


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2. Sphère sur plan

Les formules se déduisent des relations précédentes, en faisant
d1 = d et d2 =
1425
, nous aurons :
1426

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Rapprochement dû à la déformation
1428


Remarque : On constate facilement que la contrainte de compression maximum au centre de la surface de contact, dépend rapport de la valeur du rapport P/d². C’est là une justification de la pratique courante ( charge par unité se section diamétrale de la b bille ).

Exemple : Pour l’acier cémenté ( Timoshenko – Résistance des Matériaux T II ) pmax = 372 daN/mm² et d’après la formule (4)
pmax = 0,49.d².

3. Sphère reposant sur un siège sphérique ( Fig. 4-22)

Il suffit de changer le signe dans les équations (1) et (2) et nous aurons :
1429


4. Cas général : contact des surfaces courbes

Désignons par 1/r1 et 1/r1’ , les courbures principales ( max et mini se trouvant dans des plans orthogonaux ) de l’un des corps au point de contact et par 1/r2 et 1/r2’ les courbures principales de l’autre corps. Soit
1430
l’angle des plans normaux contenant les courbures 1/r1 et 1/r2 .

La surface de contact est généralement une ellipse dont les demi-axes sont calculés au moyen des relations :
1431

Relations dans lesquelles P représente l’effort en daN.

1432

(remarque : pour les profil creux, les rayons correspondants sont négatifs ).

1433


(
1434
= coefficient de Poisson = 0,3 pour l’acier ) Les valeurs de
1435
et
1436
sont données au tableau ci-dessous( Fig. 4-23)

1437

L’angle
1438
de la première colonne du tableau se calcule via la relation : cos
1439
= B / A , dans laquelle :
A = 2 / m et
1440


La pression maximum, au centre de la surface de contact est :

1441


5. Deux cylindres pressés l’un sur l’autre ( Fig. 4-24)

La surface de contact est un rectangle dont la largeur = b est donnée par la relation :
1442


La valeur de la pression maximum au centre du rectangle de contact est donnée par la relation :

1443


Dans le cas particulier où les deux cylindres ont le même module d’élasticité E1 = E2 = E, les relations précédentes se simplifient et nous pouvons écrire :
1444


6. Cylindre en contact avec une surface plane ( Fig. 4-25)
1447
1448

Les relations vues précédemment donnent dans ce cas :

1445


Remarque : La pression maximum reste constante lorsque P varie proportionnellement à l.d, c’est la raison pour laquelle la pratique courante dimensionne les pièces en fonction de la surface diamétrale.


7. Cylindre pose dans un siège cylindrique
Soient d1 et d2 les diamètres des cylindres de longueur l

1446


Note : Ce cas est assez rare, pour ce qui concerne les rotules de charpente par exemple, le siège épouse parfaitement le cylindre.

Remarque générale : Dans le cas d’une pièce cylindrique, la longueur de la génératrice de contact est prise égale à la longueur réelle diminuée de 2 x b, sauf si chacune des extrémités
est chanfreinée sur une longueur égale à b avec un angle égal +/-45°.

Dans le cas d’un cylindre ou d’une surface courbe s’appuyant sur un plat, la surface de contact doit être éloignée d’au moins 1,5 à 2 b des bords de la pièce, sauf si les bords sont chanfreinés sur une longueur équivalente avec un angle de +/-45°. Pour que les formules restent valables, il faut que le diamètre de contact ( 2a ) ou la largeur de contact ( b ) puisse satisfaire aux conditions 2a ou b
1450
e/10 et 2a ou b
1449
d/20

 
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