Les enveloppes à paroi épaisse

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3.9 ENVELOPPES A PAROI EPAISSE


3.9.1 Généralités


Dans le cas des parois épaisses, on ne peut plus supposer une répartition uniforme des contraintes dans toute l’épaisseur de la paroi ( Fig. 3-51). En effet, on effet, on constate que les fibres intérieures sont plus sollicitées plus courtes que les fibres extérieures. On obtient de ce fait un de ce fait un diagramme des contraintes comparable à celui de la à celui de la Fig. 3-51.
1321


Remarque : En cas de haute température, il peut parfois s’avérer nécessaire de tenir compte du gradient de température à travers la paroi occasionnant des contraintes thermiques supplémentaires. Dans ce cas, on peut utiliser RDM 6.

3.9.2 Contrainte dans une fibre quelconque ( Equation de Lamé )



Gabriel Lamé ( 1795 – 1870 ), ingénieur polytechnicien français a établi mathématiquement la valeur de la contrainte
1323
dans une fibre de diamètre dx et a obtenu le résultat suivant :
1324


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est indépendant de la longueur. La relation montre que :
1326


La contrainte varie donc suivant une parabole cubique. Calculons les cas particuliers intéressants.

1. La pression extérieure est nulle ( pe = 0 )

Contrainte en A ( dx = di ) ;
1327
( traction maximum )

Contrainte en B ( dx = di ) ;
1328
( traction minimum )

2. La pression intérieure est nulle pi = 0 )

Contrainte en A ( dx = de ) ;
1329
( compression maximum )

Contrainte en B ( dx = de ) ;
1330
( compression minimum)

Remarque : Si di = 0, l’enveloppe est donc un corps plein

Contrainte en B ;
1331
= 0,4 pe
Contrainte en A ;
1332
= 1,7pe ( compression maxi )

Notons que les contraintes sont indépendantes du diamètre.

3.9.3 Relations simplifiées



1333
avec pi = pression effective à l’intérieur de l’enveloppe

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Relation dans laquelle :
  • ev = épaisseur de la paroi ( mm )
  • di = diamètre intérieure de l’enveloppe ( mm )
  • Rtadm = contrainte admissible ( N/mm² )
  • pi = pression intérieure effective ( N/mm² )

3.9.4 Cas des enveloppes sphériques épaisses



La formule de Lamé deviendra dans ce cas :
1336


3.9.5 Exercice résolu


Une benne basculante est manoe uvrée au moyen d’un vérin hydraulique dont :
a) Son axe est indiqué à la Fig. 3-52 dans la position la plus défavorable. Ce vérin a un diamètre intérieur de 120 mm.
b) Le cylindre du vérin est réalisé en acier austénitique avec Re = 175 N/mm² à 20 °C. On demande de calculer la pression effective à l’intérieur du cylindre laminé et son épaisseur ev.

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