Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe dans son plan

[rocdacier]

6.3 MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE SITUE DANS SON PLAN

Le calcul d'un moment quadratique (appelé également moment d'inertie), fait appel à  des notions mathématiques que nous avons voulu sortir du cadre de cet ouvrage. Aussi, nous nous contenterons de donner des définitions ainsi que les relations permettant la détermination des moments quadratiques de quelques surfaces planes usuelles.

6.3.1 Définitions

Supposons une surface S et un repère orthonormé

de son plan. Considérons un élément très petit entourant un point ( M ) et désignons par

sa surface et par dy sa distance à  OX.

a) On appelle moment quadratique ou moment d'inertie de l'élément

par rapport à  O X, le produit

. dy²
b) On appelle moment quadratique ou moment d'inertie de la surface ( S ) par rapport à  O X, la somme des moments quadratiques par rapport à  ce même axe, de tous les éléments.

Cette somme de produits est du quatrième degré, le moment quadratique ( ou d'inertie ) s'exprime généralement en cm4 et il est toujours positif

6.3.2 Théorème de HUYGENS ( Géomètre et Astronome hollandais 1629 - 1695 )

Le moment quadratique d'une surface plane ( S ) Fig. 6-5,par rapport à  un axe quelconque ( exemple O X ) et située dans son plan est égal au moment quadratique de cette surface par rapport à  un axe parallèle au premier ( exemple

) passant par G ( centre de gravité ), augmenté du produit de l'aire de la surface ( S ) par le carré de la distance ( d ) des axes.

6.3.3 Application au rectangle

Le rectangle est une figure fondamentale de la RDM. On le rencontre souvent comme section d'une poutre en bois ou en figure composée en construction métallique ( profilés I, U, L, T, . )

1. L'axe O X passe par la base du rectangle ( Fig. 6-6) Pour le rectangle ABNM ( hauteur = AM = y ) le moment quadratique sera égal à  I. Pour le rectangle ANn'm' ( hauteur = y +

), le
moment quadratique sera égal à  : I +

. Ainsi, pour le rectangle mnn'm' de hauteur

, nous aurons :

= surface mnn'm' . y² =

Lorsque

tend vers zéro,

tendra également vers zéro. Mais le rapport

tendra vers une limite : b . y² =

par conséquent I = 1/3 b . y³ + C après dérivation. Si y = 0, I sera égal à  0 et nous aurons 0 = 0 + C. Donc la constante C = 0.

Pour h = y, le moment quadratique du rectangle ABCD par rapport à  l'axe O X passant par la base AB peut s'écrire :

2. L'axe

passant par G est parallèle à  l'axe O X ( Fig. 6-7) Cet axe est aussi appelé " Fibre Neutre " et remplacé par les lettres FN.
Chaque demi rectangle a pour moment quadratique par rapport à  l'axe

Le moment quadratique total sera :

3. L'axe parallèle à  la base ne passe pas par cette base. Deux cas peuvent se présenter ( Fig. 6-8 et 6-9)

Remarque : Il est souvent plus commode d'utiliser le théorème de Huygens : Ix = IG + S . d² Dans les deux cas, nous aurons :

6.3.4 Exercice résolu

Calculer le moment quadratique de la section représentée à  la Fig. 6-10:

a) Par rapport à  l'axe

passant par G
b) Par rapport à  l'axe

passant par sa base

Ix = IG + S . d²
Ix = 379,66 + ( 26 x 3,96² ) = 788,7 cm4

Certains logiciels de RDM peuvent confirmer vos résultats écrits. (Fig. 6-11)

Remarques : 1. Afin de rendre les calculs plus simples, il est préférable d'adopter le cm comme unité de longueur. C'est d'ailleurs cette unité qui est adoptée dans les catalogues de profilés commerciaux donnant les moments d'inertie des divers profilés ( voir quelques extraits en fin de ce chapitre ).

2. Les modules d'inertie

que nous n'avons pas encore mentionné jusqu'à  présent, apparaîtront dans les prochains chapitres ( torsion et flexion ).

Sachons que les rayons de giration ix et iy de la section sont données par les relations

et

3. En mécanique générale, vous avez vu que le rayon de giration d'un solide s'écrivait

et s'exprimait en cm. Dans cette relation : Jx = moment d'inertie d'un solide par rapport à  l'axe ( cm².kg ) et M = masse du solide ( kg ).

6.3.5 Moment quadratique d'un cercle par rapport à  un diamètre

( Fig. 6-12)

Si (d ) est le diamètre d'un cercle, le moment quadratique par rapport à  un diamètre

est :

6.3.6 Moment quadratique par rapport à  un axe quelconque passant par le centre de gravité

( Fig. 6-13)

Parmi les moments quadratiques d'une surface par rapport aux axes X et Y passant par G, nous trouvons un moment quadratique maximum et un autre qui est minimum. Ces deux
axes seront qualifiés d'axes principaux quadratiques ( ou d'inertie ) et sont perpendiculaires entre eux.

Une surface peut posséder deux axes de symétrie rectangulaires, ou un seul passant par G.
Prenons la Fig. 6-13, les axes X et Y sont les axes principaux quadratiques de la surface S. Si on trace un axe Z quelconque, mais passant par G et faisant un angle

avec l'axe X.

Le moment quadratique Iz sera déterminé par la relation :

(1) (si la section plane est symétrique ).

Remarque : Dans le cas où la surface occupe une position quelconque par rapport aux axes X et Y, la relation devient :

Dans cette relation ( K ) représente le moment produit ( ou moment centrifuge ), soit :

s = surface élémentaire Fig. 6-14
dx = distance de celle-ci à  l'axe O Y
dy = distance de celle-ci à  l'axe O X

K peut être positif si l'abscisse se trouve à  droite de O Y et a au-dessus de O X. K = 0, si la surface est symétrique.

Si on dérive la relation (1) par rapport à  l'angle

, la dérivée s'annule pour

Il y aura, par conséquent, deux angles différents entre eux de 90° qui satisferont à  cette équation. L'une correspondant à  Imin et l'autre à  Imax. L'angle étant connu, nous pouvons écrire :

Nous pouvons maintenant calculer le moment quadratique par rapport à  un axe quelconque Z faisant un angle

avec l'axe des Imax:

Pour une surface plane symétrique la relation devient :

6.3.7 Ellipse d'inertie

Soit la surface rectangulaire S représentée à  la Fig. 6-15 possédant deux axes principaux quadratiques Ix = Imax et Iy = Imin. Pour tracer l'ellipse d'inertie, on porte sur l'axe
Y le rayon de giration ix = S Im ax et sur l'axe des X,

. On obtient ainsi OM et ON qui sont, respectivement, le grand et le petit axe de l'ellipse que nous pouvons tracer. Cette ellipse sera qualifiée d'ellipse centrale d'inertie de la section S. Pour un axe quelconque OZ, cette ellipse permet de déterminer le rayon de giration iz et par là  le moment quadratique Iz. Il suffit de mener une parallèle à  l'axe Z qui soit tangente à  l'ellipse, on détermine LP = iz et Iz = S . iz²


Exercice résolu
La Fig. 6-16 représente la section d'une cornière inégale de 150x100x14. Déterminer les moments quadratiques Imax et Imin, ainsi que les rayons de giration ix et iy. Tracer l'ellipse
d'inertie.

Solution:
Calcul de la position de G ( dx )

Il y a deux éléments de surface
Surface N° 1 : 136 x 14 = 1904 mm²
Surface N° 2 : 100 x 14 = 1400 mm²
N° 1 S1 = 1904 mm² d = 7 mm Ms1= 1904 x 7 = 13328 mm³
N°2 S2 = 1400 mm² d= 50mm Ms2= 1400 x50=70000 mm³