Contrainte tangentielle

[rocdacier]

5.5 CONTRAINTE TANGENTIELLE

Partant de la Fig. 5-4, isolons la section droite AA' BB' ( Fig. 5-9 ) et appelons

la résultante des actions tangentielles sur la surface élémentaire

autour du point M.

5.5.1 Définition

La contrainte tangentielle au point M d'une section droite se définit par la relation

quand

tend vers zéro. On peut obtenir une valeur approximative de cette contrainte tangentielle en calculant sa valeur moyenne, c'est-à -dire la valeur qu'aurait (

) si la répartition des contraintes était uniforme soit :

, relation dans laquelle F est la force appliquée dans le plan de la section droite. Cette force est encore appelée "Effort tranchant ( T ) "', il est égal à  la somme algébrique , sur le plan de la section, de toutes les forces extérieures situées d'un même côté de cette section , S = aire de la section droite, d'où

Remarque : Si la direction de T est quelconque dans la section droite

Note : Pour déterminer la contrainte tangentielle en chaque point M d'une section droite, il faudrait étudier la loi générale de répartition des contraintes dans cette section et de ce fait avoir connaissance de la théorie de l'élasticité, nous étudierons quelques notions au chapitre 8

5.5.2 Condition de résistance

De la Fig. 5-8 représentant la courbe issue d'un essai de cisaillement, on peut déterminer la charge limite d'élasticité ( Fe ) et par là , on en déduit la contrainte tangentielle moyenne de limite élastique soit :

De la même manière, on détermine la charge maximale ( Fmax ) et la contrainte tangentielle moyenne de rupture, soit :

5.5.3 Contrainte admissible au cisaillement

Appelée également contrainte pratique de cisaillement, elle est définie par la relation

Sg représentant le coefficient de sécurité au cisaillement. Si le projeteur n'a pas la possibilité de réaliser un essai de cisaillement qui permettrait de déterminer avec précision Rge, il peut utiliser les valeurs approximatives suivantes, en fonction du type de matériau :

• Aciers doux ( Re
  
  27,5 daN/mm² ) et les alliages d'aluminium => Rge = 0,5 Re
• Aciers mi-durs ( 32
  
  Re
  
  50 daN/mm² ) => Rge = 0,7 Re
• Aciers durs ( Re
  
  60 daN/mm² ) => Rge = 0,8 Re

Note : L'Eurocode 3 prescrit de suivre le critère de Von Mises soit Rge

0,6 Re et adopter pour les assemblages un coefficient

( acier pour la construction métallique )

5.5.4 Condition de résistance au cisaillement

Pour qu'un solide sollicité au cisaillement puisse travailler en toute sécurité, on utilise généralement l'expression approchée

Remarques : 1. La condition de résistance

ne fait intervenir que la contrainte moyenne de cisaillement. Dans la grande majorité des cas, la détermination de la contrainte moyenne est suffisante.. Cependant, il est démontré que la contrainte de cisaillement est variable dans une section droite selon sa forme géométrique et a son maximum, au niveau de l'axe z ( Fig. 5-9 ).

Pour la section rectangulaire :

Pour la section circulaire :

Pour la section en I :

2. Si pour un acier, Rgadm

10 daN/mm², pour le bois de charpente :
- Cisaillement transversal aux fibres : Rgadm = 1,5 N/mm²
- Cisaillement longitudinal aux fibres : Rgadm = 1,2 N/mm²

Pour le béton : Rgadm

0
Pour le béton et la maçonnerie en général, leur résistance au cisaillement est très faible. Il faut donc éviter de faire travailler ces éléments de structures au cisaillement.

5.5.5 Etude des déformations élastiques

Nous avons vu au § 5-4, que dans la période élastique, il y a proportionnalité entre le glissement transversal

et l'effort de cisaillement T ( ou F ) : T = k .

Le diagramme Fig. 5-10 issu d'un essai de cisaillement montre, en abscisse , le rapport

en un point de la section droite.

Le matériau étant homogène et isotrope et par analogie avec la relation

établie dans le sens longitudinal de l'éprouvette ( § 2.2 - Essai de traction ) avec

allongement relatif, on admet dans le plan de la section droite, la proportionnalité entre la contrainte tangentielle t

et la déviation

On pose

G est appelé : Module d'élasticité transversal ou module de Coulomb.

Valeur moyenne de G pour certains matériaux :
Aciers : G

8000 daN/mm²
Fontes : G

4000 "Bronzes, laitons : G § 4800 daN/mm²
Aluminium : G

2800 daN/mm²
Alpax, duralumin (alliages d'alu ) : G

3200 daN/mm²
Tungstène : G

16000 daN/mm²

Note : Si on considère la section S en état théorique de cisaillement simple, on peut déterminer la valeur de G en fonction de E ( module d'élasticité longitudinale ) au moyen de la relation

soit :

pour v = 0,3 c'est-à -dire les matériaux usuels utilisés en construction métallique.